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PRATIQUES - eau et assainissement - 1. techniques- Fiche E&A - 1.4.5
Théorème de Bernouilli et équation
de Hazen William: détermination rapide d’un diamètre par l’utilisation de l’équation de
Hazen William Pierre Pioge [1]
L’équation de
Bernouilli
est la base théorique de la description des phénomènes physiques
d’écoulement de liquides. Dans une adduction, l’énergie d’une particule d’eau
est une combinaison stricte d’énergie potentielle, d’énergie cinétique
et d’énergie de pression. Dans la nature, « rien ne se perd
et rien ne se crée », par conséquent l’énergie d’une particule
d’eau passant par le point 1 aura la même énergie que lorsqu’elle
passera par le point 2 ou par tout autre point de l’adduction. Sous forme d’équation, ce théorème peut s’écrire de
la façon suivante: Energie potentielle + Energie de pression + Energie
Cinétique = constante
(1) Ou sous une forme plus élaborée:
avec: h = élévation de la particule (en mètres)
P = pression (en pascal ou Newton par m2)
r = poids volumique du liquide (newton par m3)
V = vitesse de la particule (en mètre par seconde : m/s)
g = accélération de la pesanteur soit 9,81 m s -2
L’équation (2) peut aussi s’écrire de la façon suivante
pour deux points quelconques 1 et 2 d’une adduction.
Dans la réalité, des pertes d’énergie par frottement
se produisent tout le long du parcours. Ces pertes d’énergie, ou
pertes de charge permettent d’écrire l’équation
(4) :
Pch représentant les pertes d’énergie
dues aux frictions des particules d’eau sur les parois de la tuyauterie,
et entre elles. Cette équation peut être validée par 3 exemples
typiques illustrés par les figures 1 et 2. Premier cas
(figure 1) : Le tronçon d’adduction est totalement fermé à l’entrée
de la fontaine. L’équation (4) peut alors s’écrire de la façon suivante:
Ce qui signifie que toute l’énergie de l’eau au point
bas de l’adduction est sous forme de pression, en effet :
Les pertes de charge sont nulles, il n’y a pas d’écoulement
donc pas de frictions. Deuxième cas
de figure Le système est dans ce cas, totalement ouvert, l’eau
s’écoule librement de R1 vers R2. L’équation
(4) devient:
En effet, Troisième
cas de figure. On ouvre progressivement la vanne en R2, l’équation devient alors:
Dans ce cas, au point R2 l’eau s’écoule avec une vitesse
inférieure à celle du cas précédent puisque la vanne n’est pas complètement
ouverte. La vanne maintient également une certaine pression à l’intérieur
de la tuyauterie.
L’équation d’Hazen
William : détermination rapide d’un diamètre par l’utilisation de l’équation
de Hazen William De nombreux chercheurs se sont penchés sur l’étude
expérimentale de la détermination des pertes de charge dans une
adduction en fonction de l’état de surface (donc des frottements)
contre les parois. On peut citer les formules de Darcy, Colebrook,
Hazen William pour les plus utilisées. L’équation d’Hazen
William permet de déterminer le débit
maximum transportable par un tronçon d’adduction en fonction du
diamètre choisi et du type de matériau utilisé. L’exemple de calcul de l’adduction de Doge Larosso
en Ethiopie montre tout l’intérêt de cette formule hydraulique pour
dimensionner au mieux l’ouvrage : La formule de
Hazen William est la suivante :
Avec : Q
max. débit maximum transporté
par le tronçon ( en m³ par seconde)
L longueur
du tronçon (en m)
DH est la différence
d’altitude entre les deux extrémités du tronçon (en m)
C1 le coefficient
de frottement du matériau utilisé
On utilisera les valeurs de C1 suivantes :
Din est le diamètre intérieur (en m)
Dout est le diamètre extérieur Dans le cas de Doge Laroso un tronçon compris entre
deux boites de distribution doit alimenter deux fontaines (0,2 l/s
et par fontaine); le débit maximum à transporter est de 0,4 l/s.
Le dénivelé entre les deux bacs est de 40 m , la longueur
du tronçon est de 884 m. Scénario 1, on évalue la capacité de
l’adduction avec la pose d’une tuyauterie en 2 ² soit Dout = 50
mm et Din = 41 mm En utilisant Hazen William :
Il est clair que les 0,4 l/s seront transportés par
l’adduction en 2 pouces mais sans doute est-il possible de réduire
le diamètre sans nuire au service rendu. Scénario 2 : on choisit une tuyauterie
en 1²½ soit 32 mm de diamètre extérieur, soit encore
26,8 mm de diamètre intérieur. Les calculs par la formule de Hazen William montrent
que le débit maximum transporté dans ce cas sera de 0,56 l/s. La capacité du tronçon est supérieure au débit à transporter,
ce choix est donc satisfaisant. Dans tous les cas de figure on calculera la vitesse
de l’eau dans la tuyauterie, à partir de la formule élémentaire
:
Avec V vitesse
de l’eau dans la canalisation (en m/s) Q
débit max. de l’adduction (en m³/s) S
section de l’adduction (en m²) Pour le scénario 1 la vitesse de l’eau dans le tronçon
calculé en 2 pouces de diamètre donnera une vitesse de 0,3 m/s. Cette valeur est inférieure à la valeur minimum recommandée
qui est de 0,7 m/s. Il y a de forts risques de sédimentation dans
le tronçon. Dans le cas du choix en 32 mm de diamètre, la vitesse
de l’eau sera de 0,71 m/s, ce qui est suffisant pour éviter la sédimentation. Dans le cas de l’adduction de Doge Laroso, l’ensemble
des calculs montre que le choix de tuyaux en 32 mm est suffisant.
La comparaison des coûts dans les deux cas de figure est intéressante: Coût 50 mm = 610 tuyaux x 74 EB + 10% plomberie = 49 654 EB (1 Ethiopian Birr @0.90FF) Coût 32 mm = 610 tuyaux x 34 EB + 10% plomberie = 22 814 EB L’usage d’une formule permettant de dimensionner au
mieux une adduction est donc indispensable, pour trois raisons principales
: ·
le
fonctionnement sera assuré sans risque de sédimentation, ·
des
économies importantes pourront être réalisées sur les matériaux
(coût réduit de plus de 50% dans le cas étudié), ·
l’entretien
de l’adduction sera moins coûteux (pièces et tuyaux meilleur marché),
facteur d’importance puisque cette charge reviendra à la communauté
bénéficiaire, disposant généralement de peu de ressources. ______________________ A Handbook of Gravity-Flow Water Systems, Thomas D. Jordan Jnr., Intermediate
Technology Publications (I.T.) 1980 (250 p.), ouvrage chaudement recommandé par Pierre Pioge. Peut être commandé à : Intermediate Technology Publications,
103-105 Southampton Row, London, WC1B 4HH, United Kingdom, Tel:
44.171.436.9761 Fax: 44.171.436.2013, E-mail: itpubs@itpubs.org.uk Sur Internet: http://www.itdgpublishing.org.uk/
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[1] Pierre Pioge fut responsable du programme hydraulique d’Inter Aide à Mogissa en Ethiopie jusqu’en 99.
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